设f（x）=px-px-2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=2ex，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=px-px-2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设f（x）=px-

p

x

-2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=

2e

x

，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由 f（x）=px-

p

x

-2lnx，
得f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．…（3分）
要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，…（5分）
从而P≥1．…（7分）
（II）解法1：g（x）=

2e

x

在[1，e]上是减函数，
所以[g（x）]_min=g（e）=2，[g（x）]_max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．
当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，得x-

1

x

≥ 0，
故f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx＜x-

1

x

-2lnx＜2，不合题意．…（10分）
当P≥1时，由（I）知f（x）在[1，e]连续递增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
∴原命题等价于[f（x）]_max＞[g（x）]_min=2，x∈[1，e]，…（12分）
由[f(x) ]max=f(e)=p(e-

1

e

) -2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

，
综上，p的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．…（15分）
解法2：原命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=px-

p

x

-2lnx-

2e

x

，
∵F′(x)=p+

p

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

px2+p+2(e-x)

x2

＞0，
∴F（x）是增函数，…（10分）
∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞

4e

e2-1

，
∴p的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=px-px-2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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