已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判断函数的单调性（2）函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（3）当1e＜x＜y＜1时，试比较yx与1+-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）（a∈R）
（1）若a=0，判断函数的单调性
（2）函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当

1

e

＜x＜y＜1时，试比较

y

x

与

1+lny

1+lnx

的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f^′（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．
x∈（0，1）时，f^′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．
x∈（1，+∞）时，f^′（x）＜0f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x²+x-xlnx，由f（x）≥bx²+2x，得b≤1-

1

x

-

lnx

x

．
令g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0；
（3）由（Ⅱ）知g(x)=1-

1+lnx

x

在（0，1）上单调递减
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）
即

1+lnx

x

＜

1+lny

y

而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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