已知f(x)=2lnx+axx+1(x＞0)．（1）若a=-8，判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2（x1≠x2），求证：f(x1)+f(x2)≥f(x)+2x-2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=2lnx+axx+1(x＞0)．（1）若a=-8，判断f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f(x)=2lnx+

ax

x+1

(x＞0)．
（1）若a=-8，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求证：f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-8时，f（x）=2lnx-

8x

x+1

，x＞0，
则f′(x)=

2

x

-

8

(x+1)2

=

2(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）证明：∵f′(x)=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(4+a)2+2

x(x+1)2

，
∵f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f′（x）=0有两个不相等的正实数根x₁，x₂，
则

x1+x2=-

4+a

2

＞0

x1x2=1＞0

△=(4+a)2-16＞0

，
而f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁+

ax1

x1+1

+2lnx₂+

ax2

x2+1

=2ln(x1x2)+a(

x1

x1+1

+

x2

x2+1

)
=2ln（x₁x₂）+a?

2x1x2+x1+x2

x1x2+x1+x2+1

=a，
∵

f(x)-2lnx

x

(x+1)=a，
∴f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2等价于

f(x)-2lnx

x

(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

，
也就是要证明：对任意x＞0，有lnx≤x-1，
令g（x）=lnx-x+1，（x＞0），
由于g（1）=0，并且g′(x)=

1

x

-1，
当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上为减函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=0，即g（x）≤0，
故f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=2lnx+axx+1(x＞0)．（1）若a=-8，判断f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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