已知函数f(x)=lnx+ax22-(a+1)x，a∈R，且a≥0．（Ⅰ）若f‘（2）=1，求a的值；（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的最大值；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx+ax22-(a+1)x，a∈R，且a≥0．（Ⅰ）若f‘（2）=1，求a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx+

ax2

2

-(a+1)x，a∈R，且a≥0．
（Ⅰ）若f'（2）=1，求a的值；
（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

试题来源：朝阳区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+ax-(a+1)．
由f'（2）=1，解得a=

3

2

．
（Ⅱ）由f（x）=lnx-x，得f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
由f′(x)=

1-x

x

＞0，解得0＜x＜1；由f′(x)=

1-x

x

＜0，解得x＞1．
所以函数f（x）在区间（0，1）递增，（1，+∞）递减．
因为x=1是f（x）在（0，+∞）上唯一一个极值点，
故当x=1时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（1）=-1．
（Ⅲ）因为f′(x)=

1

x

+ax-(a+1)=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

（1）当a=0时，f′(x)=

1-x

x

．令f′(x)=

1-x

x

＞0解得0＜x＜1
（2）a＞0时，
令

(ax-1)(x-1)

x

=0，解得x=

1

a

或x=1．
（ⅰ）当

1

a

＞1即0＜a＜1时，
由

ax2-(a+1)x+1

x

＞0，及x＞0得 ax²-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜1，或x＞

1

a

；
（ⅱ）当

1

a

=1即a=1时，
因为x＞0，f′(x)=

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

≥0恒成立．
（ⅲ）当

1

a

＜1即a＞1时，由

ax2-(a+1)x+1

x

＞0，及x＞0得 ax²-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜

1

a

，或x＞1；
综上所述，
当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，1）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间是（0，1），(

1

a

，+∞)；
当a=1时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的递增区间是(0，

1

a

)，（1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx+ax22-(a+1)x，a∈R，且a≥0．（Ⅰ）若f‘（2）=1，求a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：