发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)由f(x)=xlnx+ax,得:f′(x)=lnx+a+1 ∵函数f(x)在区间[e2,+∞)上为增函数, ∴当x∈[e2,+∞)时f′(x)≥0, 即lnx+a+1≥0在区间[e2,+∞)上恒成立, ∴a≥-1-lnx. 又当x∈[e2,+∞)时, lnx∈[2,+∞),∴-1-lnx∈(-∞,-3]. ∴a≥-3; (Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞),f(x)>k(x-1)+ax-x恒成立, 即x?lnx+ax>k(x-1)+ax-x恒成立, 也就是k(x-1)<x?lnx+ax-ax+x恒成立, ∵x∈(1,+∞),∴x-1>0. 则问题转化为k<
设函数h(x)=
再设m(x)=x-lnx-2,则m′(x)=1-
∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则m(x)=x-lnx-2在(1,+∞)上为增函数, ∵m(1)=1-ln1-2=-1,m(2)=2-ln2-2=-ln2,m(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,m(4)=4-ln4-2=2-ln4>0. ∴?x0∈(3,4),使m(x0)=x0-lnx0-2=0. ∴当x∈(1,x0)时,m(x)<0,h′(x)<0,∴h(x)=
x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0,∴h(x)=
∴h(x)的最小值为h(x0)=
∵m(x0)=x0-lnx0-2=0,∴lnx0+1=x0-1,代入函数h(x)=
∵x0∈(3,4),且k<h(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立, ∴k<h(x)min=x0,∴k≤3, ∴k的值为1,2,3. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R)(I)若函数f(x)在区间[e2,+∞)上为增函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。