设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中a≠0（I）若a=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上最大值和最小值；（II）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中a≠0（I）若a=1，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+1，
∴f′(x)=3(x-

1

3

)(x+1)，且x∈[-1，2]．
∴f（x）在区间[-1，

1

3

]上递减，[

1

3

，2]上递增，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（-1）=2与f（2）=11的最大者比较，
即f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=11，最小值为f(

1

3

)=

22

27

．
（Ⅱ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)．
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)上是增函数，g（x）在(

1

a

，+∞)上是增函数．
由题意得

a＞0

a≥

a

3

a≥

1

a

解得a≥1．
当a＜0时，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）上是增函数，g（x）在(-∞，

1

a

)上是增函数．
由题意得

a＜0

a+2≤

a

3

a+2≤

1

a

解得a≤-3．
综上，a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中a≠0（I）若a=1，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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