已知函数f(x)=12x2-alnx-12(a∈R，a≠0)．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2-alnx-12(a∈R，a≠0)．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx-

1

2

(a∈R，a≠0)．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

试题来源：房山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）a=2时，f(x)=

1

2

x2-2lnx-

1

2

，f(1)=0…（1分）
f′(x)=x-

2

x

，f′(1)=-1…（2分）
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x+y-1=0…（3分）
（Ⅱ）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)…（4分）
①当a＜0时，f′(x)=

x2-a

x

＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）
…（6分）
②当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=

a

或x=-

a

x

（ 0，

a

）

a

（ (

a

，+∞)，1）

f′（x）

-

+

f（x）

减

增

所以函数f（x）的递增区间为(

a

，+∞)，递减区间为(0，

a

)
…（8分）
（Ⅲ）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0
①当a＜0时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而f(1)=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以a＜0满足题意； …（9分）
②当0＜a≤1时，0＜

a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而f(1)=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以0＜a≤1满足题意；…（10分）
③当a＞1时，

a

＞1，f（x）在[1，

a

]上是减函数，[

a

，+∞)上是增函数，
所以只需f(

a

)≥0即可
而f(

a

)＜f(1)=0
从而a＞1不满足题意； …（12分）
综合①②③实数a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2-alnx-12(a∈R，a≠0)．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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