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1、试题题目:设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(x>-1,a≥0)(Ⅰ)求..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(x>-1,a≥0)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,若方程f(x)=t在[-
1
2
,1]
上有两个实数解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)证明:当m>n>0时,(1+m)n<(1+n)m

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)f′(x)=1-aln(x+1)-a
①a=0时,f′(x)>0∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数    …(1分)
②当a>0时,f(x)在(-1,e
1-a
a
-1]
上递增,在[e
1-a
a
-1,+∞)
单调递减.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在[-
1
2
,0]
上单调递增,在[0,1]上单调递减
f(0)=0,f(1)=1-ln4,f(-
1
2
)=-
1
2
+
1
2
ln2

f(1)-f(-
1
2
)<0

∴当t∈[-
1
2
,+
1
2
ln2,0)
时,方程f(x)=t有两解   …(8分)
(Ⅲ)要证:(1+m)n<(1+n)m只需证nln(1+m)<mln(1+n),
只需证:
ln(1+m)
m
ln(1+n)
n

g(x)=
ln(1+x)
x
,(x>0)
,则g/(x)=
x
1+x
-ln(1+x)
x2
=
x-(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)
…(10分)
由(Ⅰ)知x-(1+x)ln(1+x),在(0,+∞)单调递减    …(12分)
∴x-(1+x)ln(1+x)<0,即g(x)是减函数,而m>n
∴g(m)<g(n),故原不等式成立.          …(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(x>-1,a≥0)(Ⅰ)求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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