已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，f（x）=x²-x-ln（x-1），
f′(x)=2x-1-

1

x-1

=

2x(x-

3

2

)

x-1

，
当x∈(1，

3

2

)时，f^′（x）＜0，
所以f （x）在(1，

3

2

)为减函数．
当x∈(

3

2

，+∞)时，f^′（x）＞0，
所以f （x）在(

3

2

，+∞)为增函数，
则当x=

3

2

时，f（x）有极小值，也就是最小值．
所以函数f （x）的最小值为f(

3

2

)=

3

4

+ln2．
（2）f′(x)=2x-a-

a

x-1

=

2x(x-

a+2

2

)

x-1

，
若a≤0时，则

a+2

2

≤1，f（x）=

2x(x-

a+2

2

)

x-1

＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则

a+2

2

＞1，故当x∈(1，

a+2

2

]，f′（x）=

2x(x-

a+2

2

)

x-1

≤0，
当x∈[

a+2

2

，+∞)时，f（x）=

2x(x-

a+2

2

)

x-1

≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为(1，

a+2

2

]，f（x）的增区间为[

a+2

2

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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