已知函数f(x)=ax2-lnx+1，g(x)=x3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=12时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；（3）当n≥2，，n∈N*证明：ln32?ln43…lnn+1n＜1n?1(n!)2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2-lnx+1，g(x)=x3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax2-ln

x+1

，g(x)=x3
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=

1

2

时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）当n≥2，，n∈N^*证明：ln

3

2

?ln

4

3

…ln

n+1

n

＜

1

n

?

1

(n!)2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）f′(x)=

4ax2+4ax-1

2(x+1)

（x＞-1），△=16a（a+1），
①-1≤a≤0时，△＜0，f′（x）＜0，单调减区间（-1，+∞）；
②a＞0时，△＞0，单调减区间(-1，

-a+

a2+a

2a

)；增区间(

-a+

a2+a

2a

，+∞)；
③a＜-1时，△＞0，单调减区间(-1，

-a+

a2+a

2a

)∪(

-a-

a2+a

2a

，+∞)；增区间(

-a+

a2+a

2a

，

-a-

a2+a

2a

)；
（2）设h（x）=2f（x）-g（x）=x²-ln（x+1）-x³，h′(x)=

-(x-1)2-x3

x+1

＜0，
所以h（x）＜h（0）=0，即2f（x）＜g（x），
（3）由（2）ln（x+1）＜x²-x³，
令x=

1

n

∈(0，1)，则ln(

1

n

+1)＜(

1

n

)2-(

1

n

)3=

n-1

n

?(

1

n

)2，
同理ln(

1

n-1

+1)＜

n-2

n-1

?(

1

n-1

)2，…，ln(

1

2

+1)＜

1

2

?(

1

2

)2，累乘即得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2-lnx+1，g(x)=x3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：