设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=2x-mx2+1（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=2x-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=

2x-m

x2+1

（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，∴

α+β=m

αβ=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α2-αβ

=

1

α

，
同理f(β)=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）f（x）在（α，β）上为增函数
∵f(x)=

2x-m

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

，
当x∈（α，β）时，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
从而f′（x）＞0，
∴f（x）在（α，β）上为增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=2x-..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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