发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-04 07:30:00
试题原文 |
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(1)证明:设φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1, 所以φ1′(x)=ex-1.…(1分) 当x<0时,φ1′(x)<0,当x=0时,φ1′(x)=0,当x>0时,φ1′(x)>0. 即函数φ1(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得唯一极小值,…(2分) 因为φ1(0)=0,所以对任意实数x均有 φ1(x)≥φ1(0)=0. 即f(x)-g1(x)≥0, 所以f(x)≥g1(x).…(3分) (2)当x>0时,f(x)>gn(x).…(4分) 用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,由(1)知f(x)>g1(x). ②假设当n=k(k∈N*)时,对任意x>0均有f(x)>gk(x),…(5分) 令φk(x)=f(x)-gk(x),φk+1(x)=f(x)-gk+1(x), 因为对任意的正实数x,φk+1′(x)=f′(x)-g′k+1(x)=f(x)-gk(x), 由归纳假设知,φk+1′(x)=f(x)-gk(x)>0.…(6分) 即φk+1(x)=f(x)-gk+1(x)在(0,+∞)上为增函数,亦即φk+1(x)>φk+1(0), 因为φk+1(0)=0,所以φk+1(x)>0. 从而对任意x>0,有f(x)-gk+1(x)>0. 即对任意x>0,有f(x)>gk+1(x). 这就是说,当n=k+1时,对任意x>0,也有f(x)>gk+1(x). 由①、②知,当x>0时,都有f(x)>gn(x).…(8分) (3)证明:先证对任意正整数n,gn(1)<e. 由(2)知,当x>0时,对任意正整数n,都有f(x)>gn(x). 令x=1,得gn(1)<f(1)=e. 所以gn(1)<e.…(9分) 再证对任意正整数n,1+(
要证明上式,只需证明对任意正整数n,不等式(
即要证明对任意正整数n,不等式n!≤(
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*): 方法1(数学归纳法): ①当n=1时,1!≤(
②假设当n=k(k∈N*)时,不等式(*)成立, 即k!≤(
则(k+1)!=(k+1)k!≤(k+1)(
因为
所以(k+1)!≤2(
这说明当n=k+1时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数n,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数n,不等式1+(
…(14分) 方法2(基本不等式法): 因为
…,
将以上n个不等式相乘,得n!≤(
所以对任意正整数n,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数n,不等式1+(
…(14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),gn(x)=1+x+x22!+x33!+…+xnn!..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。