设实数a＞0，b＞0，且满足a+b=1．（1）求alog2a+blog2b的最小值；（2）设13＜a＜b，求证：（9a）b＞（9b）a．-数学试题及答案

1、试题题目：设实数a＞0，b＞0，且满足a+b=1．（1）求alog2a+blog2b的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设实数a＞0，b＞0，且满足a+b=1．
（1）求alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）设

1

3

＜a＜b，求证：（9a）^b＞（9b）^a．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）b=1-a代入得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），
设f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），（1分）
则f'（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log₂x-log₂（1-x）；（3分）
令f'（x）＞0解得x＞

1

2

，
∴f（x）在(0，

1

2

)上单调递减，在(

1

2

，1)上单调递增．（5分）
∴x=

1

2

，f(x)min=-1即原式的最小值为-1．（7分）
（2）要证（9a）^b＞（9b）^a，即证ln（9a）^b＞ln（9b）^a
即证bln（9a）＞aln（9b），
∵a＞0，b＞0，
即证

ln(9a)

a

＞

ln(9b)

b

，（9分）
由已知

1

3

＜a＜b＜

2

3

设g(x)=

ln(9x)

x

，x∈(

1

3

，

2

3

)（10分）
则g′(x)=

1-ln(9x)

x2

，（11分）
∵

1

3

＜x＜

2

3

，因此3＜9x＜6，
∴1＜ln3＜ln（9x）＜ln6
∴g'（x）＜0（13分）
所以g（x）在(

1

3

，

2

3

)上单调递减，
∴g（a）＞g（b），原不等式得证．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设实数a＞0，b＞0，且满足a+b=1．（1）求alog2a+blog2b的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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