设函数f(x)=lnx1+x-lnx+ln(x+1)．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=lnx1+x-lnx+ln(x+1)．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

lnx

1+x

-lnx+ln(x+1)．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=

1

x(1+x)

-

lnx

(1+x)2

-

1

x

+

1

x+1

=-

lnx

(1+x)2

．（2分）
故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（4分）
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．（6分）
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于f(x)=

(1+x)ln(1+x)-xlnx

1+x

=

ln(1+x)+x[ln(1+x)-lnx]

1+x

＞0，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．（10分）
（ⅱ）当a＞0时，由f(x)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)知f(2n)=

ln2n

1+2n

+ln(1+

1

2n

)，其中n为正整数，且有ln(1+

1

2n

)＜

a

2

?

1

2n

＜e

n

2

-1?n＞-log2(e

n

2

-1)．（12分）
又n≥2时，

ln2n

1+2n

=

nln2

1+(1+1)n

＜

nln2

n(n-1)

2

=

2ln2

n-1

．
且

2ln2

n-1

＜

a

2

?n＞

4ln2

n

+1．
取整数n₀满足n0＞-log2(e

n

2

-1)，n0＞

4ln2

a

+1，且n₀≥2，
则f(2n0)=

n0ln2

1+2n0

+ln(1+

1

2n0

)＜

a

2

+

a

2

=a，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（-∞，0]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=lnx1+x-lnx+ln(x+1)．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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