已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+a2x，（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+a2x，（a＞0）．（Ⅰ）求f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+

a2

x

，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1

e

，
∴f（x）的增区间是（

1

e

，+∞）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜

1

e

，
∴f（x）的减区间是（0，

1

e

）．
∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）_max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max．
当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．
∴[f（x）]_max=f（e）=e．
∵g(x)=x+

a2

x

，（a＞0），
∴g ′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0，
∴函数g(x)=x+

a2

x

，在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]_min=g（1）=1+a²．
由1+a²≥e，得a≥

e-1

，
又0＜a＜1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则g′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
若a＜x≤e，则g′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0．
∴函数g(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[g（x）]_min=g（a）=2a．
由2a≥e，得a≥

e

2

，
又1≤a≤e，∴

e

2

≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，g′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
∴函数g(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数．
∴[g(x)]min=g(e)=e+

a2

e

．
由e+

a2

e

≥e，得a∈R，
又a＞e，∴a＞e．（15分）
综上所述，a的取值范围为[

e

2

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+a2x，（a＞0）．（Ⅰ）求f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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