已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；（II）令x1=12，xn+1=2xn1+x2n，求数列-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知定义在（-1，1）上的函数f （x）满足f(

1

2

)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．
（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；
（II）令x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+

x

2n

，求数列{f（x_n）}的通项公式；
（III）设T_n为数列{

1

f(xn)

}的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由．

试题来源：成都一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）令x=y=0，得f（0）=0．
又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．（3分）
（II）∵{x_n}满足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+

x

2n

=

2

1

xn

+xn

＜

2

=1，
∴0＜x_n＜1．
∴f(xn+1)=f(

2xn

1+

x

2n

)=f[

xn-(-xn)

1-xn?(-xn)

]=f(xn)-f(-xn)．
∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（-x_n）=-f（x_n）
∴f（x_n+1）=2f（x_n），即

f(xn+1)

f(xn)

=2．
∵{f（x_n）}是以f(x1)=f(

1

2

)=1为首项，以2为公比的等比数列．
∴f（x_n）=2^n-1．（5分）
（III）Tn=

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-(

1

2

)n

1-

1

2

=2-

1

2n-1

．
假设存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，
有Tn＜

m-4

3

成立，
即2-

1

2n-1

＜

m-4

3

对n∈N^*恒在立．
只需

m-4

3

≥2，即m≥10．
故存在正整数m，使得对n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立．
此时m的最小值为10．（5分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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