已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（2）对数列x1=12，xn+1=2xn1+xn2，求f（xn）；（3）求证1f-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（

1

2

）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）对数列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

，求f（x_n）；
（3）求证

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数（4分）
（Ⅱ）f（x₁）=f（

1

2

）=-1，f（x_n+1）=f（

2xn

1+xn2

）=f（

xn+xn

1+xn?x n

）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2即{f（x_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=-2^n-1
（Ⅲ）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

=(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1-

1

2n

1-

1

2

=-(2-

1

2n-1

)=-2+

1

2n-1

＞-2
而-

2n+5

n+2

=-(2+

1

n+2

)=-2-

1

n+2

＜-2
∴

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，且满足x，y∈（-1，1）有f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：