发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-08 07:30:00
试题原文 |
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(1)g(x)=2x是下凸函数,证明如下: 对任意实数x1,x2及α∈(0,1), 有g(αx1+(1-α)x2)-αg(x1)-(1-α)g(x2)=2(αx1+(1-α)x2)-2αx1-2(1-α)x2=0. 即g(αx1+(1-α)x2)≤αg(x1)+(1-α)g(x2). ∴g(x)=2x是C函数. k(x)=
取x1=-3,x2=-1,α=
则k(αx1+(1-α)x2)-αk(x1)-(1-α)k(x2)=k(-2)-
即k(αx1+(1-α)x2)>αk(x1)+(1-α)k(x2). ∴k(x)=
(2)h(x)=px2是下凸函数,则对任意实数x1,x2及α∈(0,1), 有h(αx1+(1-α)x2)-αh(x1)-(1-α)h(x2)=p(αx1+(1-α)x2)2-pαx12-p(1-α)x22=p[-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2]=-pα(1-α)(x1-x2)2≤0. 即当p≥0时,h(αx1+(1-α)x2)≤αh(x1)+(1-α)h(x2). ∴当p≥0时,h(x)=px2是下凸函数. (3)对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
∵f(x)是R上的下凸函数,an=f(n),且a0=0,am=2m ∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m. 可证f(x)=2x是C函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时Sf=m2+m. 综上所述,Sf的最大值为m2+m. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“(理)设f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及x1、x2∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。