已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex．（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2，t]（t＞-2）上，那么①当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；②设m=f（-2），n=f（t）．试证明：m＜n；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+（x-2）ex，当x＞1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex．（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2，t]（t＞-2）上，那么
①当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；
②设m=f（-2），n=f（t）．试证明：m＜n；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，当x＞1时，试判断方程g（x）=x根的个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=x（x-1）e^x．
①当t＞1时，
当x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上可知：当x∈（-2，0），（1，t）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减．
②设h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，h′（t）=t（t-1）e^t（t＞2），列表如下：

魔方格

由表格可知h（t）的极小值为h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，而h（-2）＞0，
∴当t＞-2时，h（t）＞h（-2），即n＞m．
（II）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x，
问题转化为：判定方程（x-1）²e^x=x当x＞1时，根的个数．
设u（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），则u′（x）=（x²-1）e^x-1，
设v（x）=（x²-1）e^x-1（x＞1），则v′（x）=（x²+2x-1）e^x，
当x＞1时，v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上单调递增，而v（1）=-1＜0，v（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）上存在唯一x₀，使得v（x₀）=0，即存在唯一x₀∈（1，2）使得u′（x₀）=0，
列表如下：
魔方格

可知：u（x）_min=u（x₀）＜u（1）=-1＜0，由u（2）=e²-2＞0，y=u（x）的图象如图所示，因此y=u（x）在（1，+∞）只有一个零点，即g（x）=x（x＞1）只有一个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex．（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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