给定整数n≥2，设M0（x0，y0）是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（xm0，ym0）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点．-数学试题及答案

1、试题题目：给定整数n≥2，设M0（x0，y0）是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

给定整数n≥2，设M₀（x₀，y₀）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（

x

m0

，y

m0

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：y²=nx-1与y=x联立，可得x²-nx+1=0，∴x=

n±

n2-4

2

∴x₀=y₀=

n±

n2-4

2

．
∴x₀+

1

x0

=n≥2．…（5分）
若（

x

m0

，

y

m0

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点，则k=

x

m0

+

1

x

m0

．…（10分）
记k_m=

x

m0

+

1

x

m0

，由于k₁=n是整数，k₂=

x

20

+

1

x

20

=（x₀+

1

x0

）²-2=n²-2也是整数，
且k_m+1=k_m（x₀+

1

x0

）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，k_m=

x

m0

+

1

x

m0

是正整数，且k_m≥2现在对于任意正整数m，
取k=

x

m0

+

1

x

m0

，满足k≥2，且使得y²=kx-1与y=x的交点为（

x

m0

，

y

m0

）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定整数n≥2，设M0（x0，y0）是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点．..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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