已知函数f（log4x）=log4（x+1）+klog4x（k∈R）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）为偶函数，求实数k的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g(x)=log4m-f(x)+32x在（0，+∞）上存在零点，求实数m-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（log4x）=log4（x+1）+klog4x（k∈R）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（log₄x）=log₄（x+1）+klog₄x（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，求实数k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g(x)=log4m-f(x)+

3

2

x在（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令t=log₄x，则有x=4^t，f（t）=log4(4t+1)+kt，故函数f（x）的解析式为 f（x）=log4(4x+1)+kx．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x） log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，化简可得-log44x=2kx，
即（ 2k+1）x=0，∴k=-

1

2

．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）=log4(4x+1)-

1

2

x，
函数g(x)=log4m-f(x)+

3

2

x=log₄m-log4(4x+1)+2x 在（0，+∞）上存在零点，
故有 log₄m=log4(4x+1)-2x=log4

4x+1

42x

=log4(

1

4x

+

1

42x

)．
令

1

4x

=t，则 1＞t＞0，log₄m=log4(t+t2)．
由二次函数的性质可得 0＜t²+t＜2，
∴0＜m＜2，故实数m的取值范围为（0，2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（log4x）=log4（x+1）+klog4x（k∈R）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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