若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lg-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-12 07:30:00

试题原文

若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x²+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．

试题来源：贵阳模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂
∵x₁，x₂∈R，∴2x₁x₂符号不定，∴当2x₁x₂≤0时，f（x）是V形函数；当2x₁x₂＞0时，f（x）不是V形函数；
（2）证明：假设对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），
则lgg（x₁+x₂）-lgg（x₁）-lgg（x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]-lg（x₁²+2）-lg（x₂²+2）≤0，
∴（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），
∴x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，显然成立，
∴假设正确，g（x）是对数V形函数；
（3）f（x）是对数V形函数
证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴

1

f(x1)

+

1

f(x2)

≤1，∴0＜f（x₁）+f（x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴lgf（x₁+x₂）≤lgf（x₁）+lgf（x₂），
∴f（x）是对数V形函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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