已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0，+∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)=x²-2x+2，若对任意x₁∈(0，+∞)，均存在x₂∈[0，1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围。

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)由题意知

，f′(1)=2+1=3，
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3；
(2)

，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；
②当a＜0时，由f′(x)=0，得

，在区间

上，f′(x)＞0，在区间

上，f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为

，单调递减区间为

；
(3)由题意知，转化为

(其中x₁∈(0，+∞)，x₂∈[0，1])，
由(2)知，当a≥0时，f′(x₁)＞0，f(x₁)在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f(x₁)在

上单调递增，在

上单调递减，
故f(x₁)的极大值即为最大值，
f（x₁）_max=

，
所以

，
解得

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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