发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-16 07:30:00
| 试题原文 |
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解：(1)因为 ，所以f′(1)=1-a，所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a， 因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0， 所以1-a=3，解得a=-2； (2)①充分性，当a=1时，  ，所以当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，+∞)上是增函数； 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数， 所以f(x)≥f(1)=0； ②必要性：  ，其中x＞0，(ⅰ)当a≤0时，因为f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数； 而f(1)=0，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜0，与f(x)≥0恒成立相矛盾，所以a≤0不满足题意； (ⅱ)当a＞0时，因为当x＞a时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(a，+∞)上是增函数； 当0＜x＜a时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数， 所以f(x)≥f(a)=a-1-alna， 因为f(1)=0，所以当a≠1时，f(a)＜f(1)=0，此时与f(x)≥0恒成立相矛盾， 所以a=1； 综上所述f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1； (3)由(2)可知，当a＜0时，函数f(x)在(0，1]上是增函数， 又函数  在(0，1]上是减函数，不妨设  ，则  ，所以  等价于 ，即  ，设  ，则  等价于函数h(x)在区间(0，1]上是减函数，因为  ，所以  在x∈(0，1]上恒成立，即  在x∈(0，1]上恒成立，即a不小于 在区间(0，1]内的最大值，而函数 在区间(0，1]上是增函数，所以  的最大值为-3，所以a≥-3， 又a＜0，所以a∈[-3，0)。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)，(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。
，求实数a的取值范围。