试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn=2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1(n∈N*且n≥2)．-数学试题及答案

1、试题题目：试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn=2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-28 07:30:00

试题原文

试用两种方法证明：
（1）

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

=2n(n∈N*)；
（2）

C

1n

+2

C

2n

+…+n

C

nn

=n2n-1(n∈N*且n≥2)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：排列与组合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：方法1：由(1+x)n=1+

C

1n

x+…+

C

nn

xn(n∈N*)
令x=1，得

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

=2n(n∈N*)．…（3分）
方法2：数学归纳法：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，

C

0k

+

C

1k

+…+

C

kk

=2k(k∈N*)，
则当n=k+1时，由

C

0k+1

=C

0k

，

C

rk+1

=

C

r-1k

+

C

rk

，

C

k+1k+1

=

C

kk

，
所以，

C

0k+1

+

C

1k+1

+

C

2k+1

+…+

C

k+1k+1

=

C

0k

+（

C

0k

+C

1k

）+（

C

1k

+C

2k

）+…+（

C

k-1k

+C

kk

）+

C

kk

=2（

C

0k

+C

1k

+…+

C

k-1k

+C

kk

=2?2^k=2^k+1，
由①②，等式对于任意n∈N^*恒成立．…（7分）
（2）方法1：由于k

C

kn

=k

n!

k!(n-k)!

=

n!

(n-k)!(k-1)!

，n

C

k-1n-1

=n

(n-1)!

(n-k)!(k-1)!

=

n!

(n-k)!(k-1)!

，
∴k

C

kn

=n

C

k-1n-1

，…（9分）
所以，

C

1n

+2

C

2n

+…+n

C

nn

=n

C

0n-1

+n

C

1n-1

+…+n

C

n-1n-1

=n（

C

0n-1

+

C

1n-1

+…+

C

n-1n-1

）=n2^n-1．…（11分）
方法2：由（1+x）ⁿ=1+

C

1n

x+

C

2n

x²+…+

C

nn

xⁿ （n≥2，且 n∈N^*），
两边求导，得 n（1+x）^n-1=1+2

C

2n

x+3

C

3n

?x²+…+n

C

nn

x^n-1，…（14分）
令x=1，得

C

1n

+2

C

2n

+…+n

C

nn

=n2n-1(n∈N*且n≥2)．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn=2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nC..”的主要目的是检查您对于考点“高中排列与组合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中排列与组合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：