数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2an+1（I）求证：1＜an＜2（n∈N*，n≥2），（Ⅱ）令bn=|an-2|（1）求证：{bn}是递减数列；（2）设{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜2(22-1)7．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2an+1（I）求证：1＜an＜2（n∈N*，n≥2），（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an+2

an+1

（I）求证：1＜a_n＜2（n∈N^*，n≥2），
（Ⅱ）令b_n=|a_n-

2

|
（1）求证：{b_n}是递减数列；
（2）设{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜

2(2

2

-1)

7

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）a₁=1，a2=

1+2

1+1

=

3

2

，
（1）n=2时，1＜a₂=

3

2

＜2，∴n=2时不等式成立；
（2）假设n=k（k∈N^*，k≥2）时不等式成立，即1＜a_k＜2，
ak+1=1+

1

ak+1

，
∴

4

3

＜ak+1＜

3

2

，
∴n=k+1时不等式成立，
由（1）（2）可知对n∈N^*，n≥2都有1＜a_n＜2；
（Ⅱ）（1）

bn+1

bn

=

|an+1-

2

|

|an-

2

|

=

|

an+2

an+1

-

2

|

|an-

2

|

=

1

|an+1|

?

|an+2-

2

an-

2

|

|an-

2

|

=

1

|an+1|

?

|an(1-

2

)+

2

(

2

-1)|

|an-

2

|

=

|

2

-1|

|an+1|

，
又

|

2

-1|

|an+1|

＜

2

-1

2

＜1，
∴{b_n}是递减数列；
（2）由（1）知：

bn+1

bn

＜

2

-1

2

，∴bn+1＜

2

-1

2

bn，
则bn＜

2

-1

2

bn-1＜(

2

-1

2

)2bn-2＜…＜(

2

-1

2

)n-1b1=（

2

-1）(

2

-1

2

)n-1，
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜（

2

-1）[1+

2

-1

2

+(

2

-1

2

)2+…+(

2

-1

2

)n-1]
=(

2

-1)

1-(

2

-1

2

)n

1-

2

-1

2

=

2(

2

-1)(3+

2

)

7

[1-(

2

-1

2

)n]＜

2(2

2

-1)

7

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2an+1（I）求证：1＜an＜2（n∈N*，n≥2），（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：