在数列{an}中，a1=23，且对任意的n∈N+都有an+1=2anan+1．（Ⅰ）求证：{1an-1}是等比数列；（Ⅱ）若对于任意n∈N+都有an+1＜pan，求实数P的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=23，且对任意的n∈N+都有an+1=2anan+1．（Ⅰ）求证：..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a1=

2

3

，且对任意的n∈N₊都有an+1=

2an

an+1

．
（Ⅰ）求证：{

1

an

-1}是等比数列；
（Ⅱ）若对于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求实数P的取值范围．

试题来源：未央区三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由an+1=

2an

an+1

，得

1

an+1

-1=

an+1

2an

-1=

1-an

2an

=

1

2

(

1

an

-1)．
又由a1=

2

3

，得

1

a1

-1=

1

2

≠0．
∴{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
即an=

2n

2n+1

，an+1=

2n+1

2n+1+1

．
∵a_n+1＜pa_n（n∈N₊），
∴p＞

an+1

an

=

2n+1

2n+1+1

?

2n+1

2n

=

2n+1+2

2n+1+1

=1+

1

2n+1+1

显然，当n=1时，1+

1

2n+1+1

值最大，且最大值为

6

5

．
∴实数p的取值范围为p＞

6

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=23，且对任意的n∈N+都有an+1=2anan+1．（Ⅰ）求证：..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：