在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2（1）求证：SA⊥平面ABCD；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值-数学试题及答案

1、试题题目：在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=

，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且

，如图2

（1 ）求证：SA⊥平面ABCD ；
（2 ）求二面角E ﹣AC ﹣D 的正切值；
（3 ）在线段BC 上是否存在点F ，使SF∥ 平面EAC ？若存在，确定F 的位置，若不存在，请说明理由．

试题来源：江西省期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，
又SA包含于平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD；
（2）在AD上取一点O，使

，连接EO．
因为

，
所以EO∥SA，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH，
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，

．
在Rt△AHO中，

．

，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为

；
（3）当F为BC中点时，SF∥平面EAC，
理由如下：
取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD∥FC，
所以

，
又由题意

SF∥EM，
所以SF∥平面EAC，
即当F为BC的中点时，SF∥平面EAC。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

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