已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，且x∈[0，π2]，f（x）=a?b-2λ|a+b|（λ为常数），求：（1）a?b及|a+b|；（2）若f（x）的最小值是-32，求实数λ的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，且x∈[0，π2]，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]，f（x）=

a

?

b

-2λ|

a

+

b

|（λ为常数），
求：（1）

a

?

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）的最小值是-

3

2

，求实数λ的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用坐标表示向量的数量积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

a

?

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

+

b

|=

(cos

3x

2

+cos

x

2

)2+(sin

3x

2

-sin

x

2

)2

=

2+2cos2x

=2

cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx≥0，
∴|

a

+

b

|=2cosx．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosx≤1，
①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

；
③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，这与λ＞1相矛盾、
综上所述，λ=

1

2

为所求．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，且x∈[0，π2]，..”的主要目的是检查您对于考点“高中用坐标表示向量的数量积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用坐标表示向量的数量积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：