在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量e=（0，1），点B为直线x=-1上的动点，点C满足2OC=OA+OB，点M满足BM?e=0，CM?AB=0．（1）试求动点M的轨迹E的方程；（2）试证直线CM为轨迹E的-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量e=（0，1），点B为直线x=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量

e

=（0，1），点B为直线x=-1上的动点，点C满足2

OC

=

OA

+

OB

，点M满足

BM

?e=0，

CM

?

AB

=0．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）试证直线CM为轨迹E的切线．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用坐标表示向量的数量积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设B（-1，m），C（x₁，y₁），
由2

OC

=

OA

+

OB

，得：2（x₁，y₁）=（1，0）+（-1，m），解得x₁=0，y1=

m

2

（2分）
设M（x，y），由

BM

?e=0

CM

?

AB

=0

，得

(x+1，y-m)?(0，1)=0

(x，y-

m

2

)?(-2，m)=0

?

x=

m2

4

y=m

，（4分）
消去m得E的轨迹方程y²=4x（6分）
（2）由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
设M（

y0

4

，y0），则B（-1，y₀），C（0，

y0

2

），
当y₀≠0时，kMC=

2

y0

，MC的方程y=

2

y0

x+

y0

2

（8分）
将MC方程与y²=4x联立消x，整理得：y²-2y₀y+y₀²=0，
它有唯一解y=y₀，即MC与y²=4x只有一个公共点，
又k_MC≠0，所以MC为y²=4x的切线（10分）
当y₀=0时，显然MC方程x=0为轨迹E的切线
综上知，MC为轨迹E的切线．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量e=（0，1），点B为直线x=..”的主要目的是检查您对于考点“高中用坐标表示向量的数量积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用坐标表示向量的数量积”。

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