已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足DQ=23DP．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使OE=12-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足

DQ

=

2

3

DP

．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

试题来源：惠州三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₀，y₀），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x₀，0）（1分）
∴

DQ

=(x-x0，y)，

DP

=(0，y0)（2分）
又

DQ

=

2

3

DP

∴

x-x0=0

y=

2

3

y0

即

x0=x

y0=

3

2

y

（4分）
∵P在⊙O上，故x₀²+y₀²=9∴

x2

9

+

y2

4

=1（5分）
∴点Q的轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1（6分）
（2）假设椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上存在两个不重合的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）满足

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)，则E（1，1）是线段MN的中点，且有

x1+x2

2

=1

y1+y2

2

=1

即

x1+x2=2

y1+y2=2

又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上
∴

x12

9

+

y12

4

=1

x22

9

+

y22

4

=1

两式相减，得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0（12分）
∴kMN=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

∴直线MN的方程为4x+9y-13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x²-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)，此时直线MN的方程为4x+9y-13=0（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：