已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an-1}为等差数列；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn＜n-ln（n+1）；（Ⅲ）设bn=an（910）n，证明：对任意的正整数n、m均-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an-1}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an-1

}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）设b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，证明：对任意的正整数n、m均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为

1

an+1-1

=

1

2-an

-1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
即

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1.
所以数列{

1

an-1

}为等差数列
（Ⅱ）由（1）知：

1

an-1

=

1

a1-1

+（n-1）×（-1）=-n
所以a_n=1-

1

n

设f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），则f′（x）=1-

1

x+1

＞0
∴f（x）在（0，+∞）为递增函数，且f（x）在[0，+∞]上连续．
∴f（x）＞f（0）=0，∴当x＞0时，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+

1

n

）＜

1

n

，1-

1

n

＜1-ln（1+

1

n

）
所以a_n=1-

1

n

＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即S_n＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因为b_n=

n-1

n

×（

9

10

）ⁿ，
当

bn

bn+1

=

n-1

n

×

n+1

n

×

10

9

=

n2-1

n2

×

10

9

，
当

bn

bn+1

=

n2-1

n2

×

10

9

＞1，n＞

10

，即n≥4
当

bn

bn+1

=

n2-1

n2

×

10

9

＜1，n＜

10

，即n≤3．
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞
又因为n≥2时，b_n＞0，并且b₁=0，所以0≤b_n≤b₄
对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|的最大值为
b₄-b₁=

3

4

×（

9

10

）⁴-0=

19683

40000

＜

24000

40000

=

3

5

所以对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|＜

3

5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an-1}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：