已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2?3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足an=4(5+k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3-16Tn与4（n+1）bn+1的大小，并-数学试题及答案

1、试题题目：已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2?3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2?3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足a_n=4(5+k)anbn，T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较3-16T_n与 4（n+1）b_n+1的大小，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的前n项和

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由S_n=2-3ⁿ+k可得
n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1
∵{a_n}是等比数列
∴a₁=S₁=6+k=4∴k=-2，a_n=4×3^n-1
（Ⅱ）由an=4×(5+k)anbn和a_n=4×3^n-1得bn=

n-1

4?3n-1

（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4?3

+

2

4?32

+…+

n-2

4?3n-2

+

n-1

4?3n-1

3Tn=

1

4

+

2

4?3

+

3

4?32

+…+

n-1

4?3n-2

两式相减可得，2Tn=

1

4

+

1

4?3

+

1

4?32

+…+

1

4?3n-2

-

n-1

4?3n-1

Tn=

1

8

+

1

8?3

+

1

8?32

+…+

1

8?3n-2

-

n-1

8?3n-1

=

3

16

-

2n+1

16?3n-1

4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=

n(n+1)

3n

-

2n+1

3n-1

=

n(n+1)-3(2n+1)

3n

而n（n+1）-3（2n+1）=n²-5n-3
当n＞

5+

37

2

或n＜

5-

37

2

＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以当n＞5时有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1
那么同理可得：当

5-

37

2

＜n＜

5+

37

2

时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1
综上：当n＞5时有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1；
当1≤n≤5时有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2?3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的前n项和”。

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