在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，记bn=an+n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）记cn=2n+22bn+3，数列{cn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜n+13．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，记bn=an+n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，记b_n=a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=

2n+2

2bn+3

，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

n+1

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）由题设a_n+1=2a_n+n，得a_n+1+n+2=2（a_n+n+1），
即b_n+1=2b_n． …4分
又b₁=a₁+1+1=3，所以数列{b_n}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，b_n=3?2^n-1．
于是cn=

2n+2

2bn+3

=

2n+1+1

3(2n+1)

=

1

3

+

1

3(2n+1)

． …8分
所以c_n＜

1

3

+

1

3×2n

． …11分
所以S_n=c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

+

1

3

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n

3

+

1

3

(1-

1

2n

)＜

n+1

3

．…14分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，记bn=an+n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：