等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=2x+r（其中r为常数）的图象上．（1）求r的值；（11）记bn=2（log2an+1）（n∈N+证明：对任意的n∈N+，不等式b1+1b1?-数学试题及答案

1、试题题目：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式

b1+1

b1

?

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上
所以得S_n=2ⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r ）=2^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以公比为2，r=-1，
（2）由（1）知，a_n=2^n-1，
∴b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
则

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
所以

b1+1

b1

?

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

?

5

4

…

2n+1

2n

下面用数学归纳法证明不等式

3

2

?

5

4

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
①当n=1时，左边=

3

2

，右边=

2

，因为

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即

3

2

?

5

4

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立．
则当n=k+1时，左边=

3

2

?

5

4

…

2k+1

2k

?

2k+3

2k+2

＞

k+1

?

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2

4(k+1)

=

(k+1)+1+

1

4(k+1)

＞

k+2

所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
∴不等式

b1+1

b1

?

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：