已知数列{an}满足a1=14，2an+an-1=(-1)nan?an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．（1）求证：数列{1an+(-1)n}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）设bn=an?sin(2n-1)π2，数列{bn}的前n项和为T-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=14，2an+an-1=(-1)nan?an-1(n≥2，n∈N*)，an≠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan?an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求证：数列{

1

an

+(-1)n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an?sin

(2n-1)π

2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*，有Tn＜

2

3

成立．

试题来源：佛山模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由2a_n+a_n-1=（-1）ⁿa_n?a_n-1得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

an

+(-1)n=(-2)?[

1

an-1

+(-1)n-1]
又∵

1

a1

+(-1)=3
∴数列[

1

an

+(-1)n]是首项为3，公比为-2的等比数列，
从而

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1
即an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

；
（2）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1
∴bn=

(-1)n-1

3?(-2)n-1-(-1)n

=

1

3?2n-1+1

则Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

++

1

3×2n-1+1

＜

1

3

+

1

3×2

+

1

3×22

+

1

3?23

++

1

3?2n-1

=

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

)
=

1

3

×

1-

1

2n

1-

1

2

=

2

3

×(1-

1

2n

)＜

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=14，2an+an-1=(-1)nan?an-1(n≥2，n∈N*)，an≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：