已知函数f(x)=sin2x+asinx+a2+b-1a．（Ⅰ）设a＞0，b=53，求证：f(π6)≥94（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a2+b2-8a的最小值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=sin2x+asinx+a2+b-1a．（Ⅰ）设a＞0，b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．
（Ⅰ）设a＞0，b=

5

3

，求证：f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：一元二次不等式及其解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a＞0，b=

5

3

∴f(

π

6

)=sin2

π

6

+asin

π

6

+

a2+

5

3

-1

a

=

3a

2

+

2

3a

+

1

4

≥2

3a

2

*

2

3a

+

1

4

=

9

4

即f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

，设t=sinx，令g(t)=t2+at+a-

3

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

(-1≤t≤1)
当-

a

2

＜0时，h(a)=g(1)；当-

a

2

＞0时，h(a)=g(-1)；

h(a)=

1+2a-

3

a

(a＞0)

1-

3

a

(a＜0)

解得a的取值范围是(-

3

5

，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）设t=sinx，令?(t)=t2+at+a+

b-1

a

，
∴φ(t)的图象的对称轴t=-

a

2

≤-1，
设t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+

b-1

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a+

b-1

a

(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=sin2x+asinx+a2+b-1a．（Ⅰ）设a＞0，b..”的主要目的是检查您对于考点“高中一元二次不等式及其解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一元二次不等式及其解法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：