已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（π3）=12+32．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（π3）=12+32．（Ⅰ）求a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=acos2x+

b

2

sin2x+a
由f（0）=2 f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

得

a+a=2

-

a

2

+

3

b

4

+a=

1

2

+

3

2

解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
所以f（x）min=1-

2

，此时x=kπ+

5π

8

，k∈Z
（Ⅱ）α，β是方程

2

cos（2x-

π

4

）+1=0的两个根
∴

2

sin（2α+

π

4

）+1=

2

sin（2β+

π

4

）+1即sin（2α+

π

4

）=sin（2β+

π

4

）
∴2α+

π

4

=2kπ+2β+

π

4

①或2α+

π

4

=2kπ+π-（2β+

π

4

）②
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+

π

4

∴tan（α+β）=tan（kπ+

π

4

）=1
∴

sin(α+β)

cos(α+β)

=1
即sin（α+β）=cos（α+β）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（π3）=12+32．（Ⅰ）求a..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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