已知（1+3x2）n的展开式中，各项系数和为An，二项式系数和为Bn，设An-Bn=992．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．-数学试题及答案

1、试题题目：已知（1+3x2）n的展开式中，各项系数和为An，二项式系数和为Bn，设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-14 07:30:00

试题原文

已知（1+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和为A_n，二项式系数和为B_n，设A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二项式定理与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）令x=1，则展开式中各项系数和为A_n=（1+3）ⁿ=2²ⁿ，…（2分）
二项式系数和为B_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，…（4分）
则A_n-B_n=2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．…（6分）
（2）因为n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T₃=C₅²（3x²）²=90x⁴，T₄=C₅³（3x²）³=270x⁶．…（10分）
（3）设展开式中第r+1项系数最大，则T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，
依题意，

3r

C

r5

≥3r-1

C

r-15

3r

C

r5

≥3r+1

C

r+15

，解得

7

2

≤r≤

9

2

，故r=4．…（13分）
即展开式中第5项系数最大，T₅=C₅⁴（3x²）⁴=405x⁸．…（14分）
解法二：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，
即展开式中第5项系数最大，T₅=405x⁸．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知（1+3x2）n的展开式中，各项系数和为An，二项式系数和为Bn，设..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二项式定理与性质”。

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