已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x（a∈R）．（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；（2）已知命题P：f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x（a∈R）．（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-19 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx+

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2

x2-（1+a）x（a∈R）．
（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知命题P：f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

求导函数，f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

(x-1)(x-a)

x

（Ⅰ）当0＜a＜1时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间（a，1）…（6分）
（Ⅱ）由于f(1)=-

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-a，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的，
当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是f(1)=-

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2

-a，此时只要f（1）≥0即可，解得a≤-

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2

，
∴实数a的取值范围是(-∞，-

1

2

)．
∴P成立的充要条件为(-∞，-

1

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)．
∵命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，
∴t=-

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．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x（a∈R）．（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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