设数列{an}的前n项积为Tn，已知对?n，m∈N+，当n＞m时，总有TnTm=Tn-m?q(n-m)m（q＞0是常数）．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较Tn?Tk和-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项积为Tn，已知对?n，m∈N+，当n＞m时，总有TnT..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-20 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项积为T_n，已知对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m?q(n-m)m（q＞0是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较T_n?T_k和（T_m）²的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m?q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设m=1，则有

Tn

T1

=Tn-1?qn-1，∴

Tn

Tn-1

=a1?qn-1
∴an=a1?qn-1
∴n≥2时，

an

an-1

=q
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）当q=1时，a_n=a₁，∴Tn=a1n，∴T_n?T_k=a1n+k=a12m=Tm2
当q≠1时，an=a1?qn-1，Tn=a1n?q

n(n-1)

2

∴T_n?T_k=a1n?q

n(n-1)

2

?a1k?q

k(k-1)

2

=a1n+k?q

n(n-1)+k(k-1)

2

∵Tm2=a12m?qm(m-1)，n+k=2m，k＜m＜n
∴a12m=a1n+k，

n(n-1)+k(k-1)

2

=

n2+k2

2

-m＞(

n+k

2

)2-m=m2-m
∴q＞1时，T_n?T_k＞Tm2；q＜1时，T_n?T_k＜Tm2
（3）证明：由（1）知，充分性成立；
必要性：若数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，则an=a1?qn-1
∴q≠1时，Tn=a1n?q

n(n-1)

2

∴

Tn

Tm

=

a1n?q

n(n-1)

2

a1m?q

m(m-1)

2

=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

2

Tn-m?q(n-m)m=a1n-m?q

(n-m)(n-m-1)

2

?q^（n-m）m=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

2

∴

Tn

Tm

=Tn-m?q(n-m)m
∴对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m?q(n-m)m（q＞0是常数）
同理可证，当q=1时，也成立
∴命题p：“对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m?q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项积为Tn，已知对?n，m∈N+，当n＞m时，总有TnT..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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