设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求f（0）的值；（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）在R上是减函数；（4）若f（x）-f（2-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数；
（4）若f（x）-f（2-x）＞1，求x的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），
∴令m=0，可得f（n）=f（0）?f（n），
由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值为1；
（2）由（1）中结论，令m=-n
则f（0）=f（-n+n）=f（-n）?f（n）=1，可得f（-n）=

1

f(n)

因此，f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，0＜

1

f(x)

＜1，即f（x）＞1，
又∵x=0时，f（0）=1
∴当x∈R时恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，可得
f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）?f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
根据

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1，可得0＜f（x₁）＜f（x₂）
因此，f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（x）-f（2-x）=f（

x

2-x

），f（0）=1，
∴不等式f（x）-f（2-x）＞1，即f（

x

2-x

）＞f（0），
∵f（x）在R上是减函数，∴

x

2-x

＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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