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1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax，其中a为不大于零的常数．（1）讨论f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax，其中a为不大于零的常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)?…?(1+
1
22n
)＜e（n∈N*，e为自然对数的底数）．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性、最值



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）f′(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2
，（1分）
①当a=0时，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；（3分）
②当
a＜0
△≤0
，即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（5分）
③当-1＜a＜0时，∵f′（x）＞0?ax2+2x+a＞0?
-1+
1-a2
a
＜x＜
-1-
1-a2
a
，
f′（x）＜0?ax2+2x+a＜0?x＜
-1+
1-a2
a
或x＞
-1-
1-a2
a
，
∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减；  （7分）
综上所述，当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当-1＜a＜0时，f（x）在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减．
当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；（8分）
（2）由（1）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x2）＜x，（10分）
∴ln[(1+
1
22
)(1+
1
42
)?…?(1+
1
22n
)]=ln(1+
1
22
)+ln(1+
1
42
)+…+ln(1+
1
22n
)＜
1
2
+
1
4
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=(1-
1
2n
)＜1=lne，
∴(1+
1
22
)(1+
1
42
)?…?(1+
1
22n
)＜e（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax，其中a为不大于零的常数．（1）讨论f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。


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