设函数f（x）=1-xax+lnx在[1，+∞）上为增函数．（1）求正实数a的取值范围；（2）若a=1，求证：12+13+14+…+1n＜lnn＜n+12+13+14+…+1n-1（n∈N*且n≥2）．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=1-xax+lnx在[1，+∞）上为增函数．（1）求正实数a的取值范..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上为增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）若a=1，求证：

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n-1

（n∈N*且n≥2）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知：f'（x）=

ax-1

ax2

(a＞0)．
依题意得：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正实数a的取值范围为[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（

n

n-1

）=

1-

n

n-1

n

n-1

+ln

n

n-1

=ln

n

n-1

-

1

n

＞f(1)=0，
即：

1

n

＜ln

n

n-1

…．（9分）
∴

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1nn．
设g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），则g′(x)=

1

x

-1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）为减函数．
∴n≥2时：g（

n

n-1

）=ln

n

n-1

-

n

n-1

＜g（1）=-1＜0，
即：ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

1

n-1

（n≥2）．
∴lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＜(1+

1

n-1

)+(1+

1

n-2

)+…+(1+

1

)=n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
综上所证：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（n∈N*且≥2）成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=1-xax+lnx在[1，+∞）上为增函数．（1）求正实数a的取值范..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：