已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

t

x

(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+

64

n

]内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

试题来源：南充模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当t=2时，f(x)=x+

2

x

，f′(x)=1-

2

x2

=

x2-2

x2

＞0解得x＞

2

，或x＜-

2

．
∴函数f（x）有单调递增区间为(-∞，

2

)，(

2

，+∞)
（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵f′(x)=1-

t

x2

，∴切线PM的方程为：y-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x

21

)(x-x1)．
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x

21

)(1-x1)．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，
∴

x1+x2=-2t

x1?x2=-t.

(*)
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+

t

x1

-x2-

t

x2

)2

=

(x1-x2)2[1+(1-

t

x1x2

)2]

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-

t

x1x2

)2]

把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函数g（t）的表达式为g（t）=

20t2+20t

（t＞0）
（3）易知g（t）在区间[2，n+

64

n

]上为增函数，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，，m+1）．
则m?g（2）≤g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）＜g（a_m+1）对一切正整数n成立，
∴不等式m?g（2）＜g（n+

64

n

）对一切的正整数n恒成立m

20×22+20×2

＜

20(n+

64

n

)2+20(n+

64

n

)

，
即m＜

1

6

[(n+

64

n

)2+(n+

64

n

)]

对一切的正整数n恒成立
∵n+

64

n

≥16，
∴

1

6

[(n+

64

n

)2+(n+

64

n

)]

≥

1

6

[162+16]

=

136

3

．
∴m＜

136

3

.
由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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