已知函数f（x）=（ax2-2x+1）?e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（I）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（ax2-2x+1）?e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（I）当a=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（ax²-2x+1）?e^-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

试题来源：石家庄二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）当a=1时，f（x）=（x²-2x+1）?e^-x，
f'（x）=（2x-2）?e^-x-（x²-2x+1）?e^-x=-（x-1）（x-3）?e^-x…（2分）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e^-3．…（5分）
（ II）f'（x）=（2ax-2）?e^-x-（ax²-2x+1）?e^-x=-e^-x[ax²-2ax-2x+3]
令g（x）=ax²-2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（7分）
②若a＞0，则g（x）=ax²-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=

a+1

a

＞1，
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（9分）
③若a＜0，则g（x）=ax²-2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当

g(-1)≥0

g(1)≥0

，即-

5

3

≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（11分）
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是-

5

3

≤a≤1．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（ax2-2x+1）?e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（I）当a=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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