已知向量a=(x，1-x)，b=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．（1）是否存在x，使得a⊥b或a∥b？若存在，则举一例说明；若不存在，则证明之．（2）求函数f(x)=a?b在区间[13，34]上的最值．（参考公式-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=(x，1-x)，b=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．（1）是否存在x，使..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知向量

a

=(x，1-x)，

b

=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．
（1）是否存在x，使得

a

⊥

b

或

a

∥

b

？若存在，则举一例说明；若不存在，则证明之．
（2）求函数f(x)=

a

?

b

在区间[

1

3

，

3

4

]上的最值．（参考公式[lnf(x)]′=

f′(x)

f(x)

）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）例如，当x=

1

2

时，

a

=(

1

2

，

1

2

)，

b

=(-ln2，-ln2)=-2ln2?

a

，

a

∥

b

因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.

a

?

b

=xlnx+(1-x)ln(1-x)＜0，从而

a

与

b

不垂直．
（2）函数f(x)=

a

?

b

=xlnx+(1-x)ln(1-x)
f′(x)=1nx+x?

1

x

-ln(1-x)+(1-x)?

-1

1-x

=lnx-ln(1-x)，
令f′(x)=0得x=

1

2

当

1

3

≤x＜

1

2

时，x＜

1

2

＜1-x，f^′（x）＜0，f（x）在区间[

1

3

，

1

2

)上是减函数：
当

1

2

＜x≤

3

4

时，1-x＜

1

2

＜x，f^′（x）＞0，f（x）在区间(

1

2

，

3

4

]上是增函数；
所以f（x）在x=

1

2

时取得最小值，且最小值f(

1

2

)=-ln2，
又f(

1

3

)=f(

2

3

)＜f(

3

4

)=

3

4

ln

3

4

+

1

4

ln

1

4

=

3

4

ln3-21n2
故f（x）在x=

3

4

时取得最大值，且最大值f(

3

4

)=

3

4

ln3-2ln2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=(x，1-x)，b=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．（1）是否存在x，使..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：