设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与g(1x)的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜1-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=

1

x

，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系；
（Ⅲ）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在请说明理由．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+

1

x

，
∴g′（x）=

x-1

x2

，令g′（x）=0，得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），
因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
∴最小值为g（1）=1；
（Ⅱ）g(

1

x

)=-lnx+x，
设h（x）=g（x）-g(

1

x

)=2lnx-x+

1

x

，
则h′（x）=-

(x-1)2

x2

，
当x=1时，h（1）=0，即g（x）=g(

1

x

)，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞g(

1

x

)，
当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜g(

1

x

)，
（Ⅲ）满足条件的x₀不存在．证明如下：证法一假设存在x₀＞0，
使|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

成立，即对任意x＞0，
有 Inx＜g(x0)＜Inx+

2

x

，（*）但对上述x₀，取x1=eg(x0) 时，
有 Inx₁=g（x₀），这与（*）左边不等式矛盾，
因此，不存在x₀＞0，使|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

成立．
证法二假设存在x₀＞0，使|g（x）-g（x₀）|成＜

1

x

立．
由（Ⅰ）知，eg(x0) 的最小值为g（x）=1．
又g(x)=Inx+

1

x

＞Inx，
而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），
∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x₁＞1，
使 g（x₁）≥g（x₀）+1，即g（x₁）-g（x₀）≥1，
故|g（x₁）-g（x₀）|≥1＞

1

x1

，与假设矛盾．
∴不存在x₀＞0，使|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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