设f(x)=x3-32(a+1)x2+3ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在x=a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=x3-32(a+1)x2+3ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设f(x)=x3-

3

2

(a+1)x2+3ax+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性．

试题来源：丰台区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f'（x）=3x²-3（a+1）x+3a=3（x-1）（x-a）（2分）
（1）∵函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，
∴f'（4）≤0，∴a∈[4，+∞）；（5分）
（2）∵函数f（x）在x=a处有极值是1，
∴f（a）=1，即a3-

3

2

(a+1)a2+3a2+1=-

1

2

a3+

3

2

a2+1=1，
∴a²（a-3）=0，所以a=0或3，（8分）
当a=0时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（0）为极大值，这与函数f（x）在x=a处取得极小值是1矛盾，所以a?0．（10分）
当a=3时，f（x）在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
所以f（3）为极小值，所以a=3．
此时，在区间（1，4）内函数f（x）的单调性是：f（x）在（1，3）内减，在[3，4）内增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=x3-32(a+1)x2+3ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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