已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2．（I）求f（x）的单调区间；（II）若对任意的μ∈（0，+∞），函数f（x）的图象C1与函数y=f（x+μ）-v的图象C2至多有一个交点．求实数v的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2．（I）求f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处取得极小值-2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意的μ∈（0，+∞），函数f（x）的图象C₁与函数y=f（x+μ）-v的图象C₂至多有一个交点．求实数v的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵函数f（x）=x³+bx²+cx，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处取得极小值-2，
∴

f(1)=1+b+c=-2

f′(1)=3+2b+c=0

，
解得b=0，c=-3．…3 分
∴f′（x）=3x²+2bx+c=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴（-∞，-1），（1，+∞）是单调递增区间，（-1，1）是单调递减区间．…6 分
（II）y=f（x+μ）-v
=（x-μ）³-3（x-μ）-v，
由方程组

y=(x+μ)3-3(x+μ)-v

y=x3-3x

，
得3μx²+3μ²x+μ³-3μ-v=0至多有一个实根，…8 分
∴△=9μ⁴-12μ（μ³-3μ-v）≤0，
∴-μ³+12μ+4v≤0，
∴v≤

1

4

μ3-3μ当u＞0时恒成立．…10 分
令g(μ)=

1

4

μ3-3μ，(μ＞0)，
则g′(μ )=

3

4

μ2-3
=

3

4

(μ-2)(μ+2)，
由此知函数g（μ）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
所以当μ=2时，函数g（μ）取最小值，即为-4，于是v≤-4．…13 分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2．（I）求f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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